第10章 消逝的光芒

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平面几何：研究二维空间中的点、线、面、三角形、圆等图形的性质（如勾股定理、三角形内角和为 180°）。

立体几何：扩展到三维空间，研究棱柱、圆锥、球体等立体图形的体积和表面积。

二、欧几里得模型的数学表述：欧几里得空间

在现代数学中，欧几里得几何的模型被抽象为欧几里得空间（Euclidean Space），记作 Rn（n 为维度）。其特征包括：

度量结构：两点间距离由欧几里得度量（勾股定理的推广）定义：d(x,y)=(x1?y1)2+(x2?y2)2+?+(xn?yn)2

线性结构：空间中的点可表示为向量，支持加法和数乘运算（如笛卡尔坐标系）。

几何性质：满足欧几里得公理，如平行公设成立，三角形内角和为 π 弧度等。

三、与非欧几何的对比

欧几里得模型的独特性在于其平直性，而非欧几何通过修改平行公设，描述弯曲空间：

罗氏几何（双曲几何）：过直线外一点，存在无穷多条平行线，三角形内角和小于 180°，描述负曲率空间（如马鞍面）。

黎曼几何（椭圆几何）：过直线外一点，不存在平行线，三角形内角和大于 180°，描述正曲率空间（如球面）。

欧几里得几何可视为非欧几何在曲率为 0 时的特例。

四、应用领域

现实世界建模：

建筑、工程（如桥梁、房屋的平面设计）；

经典物理学（牛顿力学中三维空间的描述）；

计算机图形学（二维 \/ 三维渲染的基础）。

数学基础：

作为公理化方法的典范，影响了现代数学（如希尔伯特的《几何基础》）；

欧几里得空间是分析学、拓扑学、线性代数的基础模型。

认知与哲学：

欧几里得几何曾被视为 “绝对真理”，其公理化思想深刻影响了科学方法论和哲学思辨（如康德的 “先验直观”）。

五、延伸：模型论中的欧几里得几何

在数理逻辑的模型论中，欧几里得几何的公理系统可视为一个形式理论，而欧几里得空间 Rn 是该理论的一个模型（即满足所有公理的数学结构）。此外，还存在其他模型（如基于有理数域的几何），但 Rn 是最经典且与直观相符的模型。

总结

欧几里得模型以公理化方法构建了人类对平直空间的认知框架，其影响跨越数学、科学和哲学。尽管现代物理学（如广义相对论）采用非欧几何描述时空，但欧几里得几何仍是基础科学和工程领域的核心工具，其公理化思想更是数学理性精神的象征。